Énoncé
Soit \(x \in \mathbb{R}\) . On pose \(z=\cos(x)+i\sin(x)\) . On suppose dans tout l'exercice que \(z\neq0\) . Soit \(n \in \mathbb{N}\) .
1. Démontrer que,
\(z^n+\dfrac{1}{z^n} = 2\cos(nx)\)
.
2. Trouver une expression analogue pour
\(z^n-\dfrac{1}{z^n}\)
.
Solution
1.
On a
\(z=\cos(x)+i\sin(x)=\text e^{ix}\)
. Ainsi, pour tout
\(n \in \mathbb{N}\)
,
\(\begin{align*}z^n+\frac{1}{z^n}= (\text e^{ix})^n+\frac{1}{(\text e^{ix})^n}= \text e^{inx}+\text e^{-inx}= 2\cos(nx)\end{align*}\)
d'après les formules d'Euler.
2. On a
\(z=\cos(x)+i\sin(x)=\text e^{ix}\)
. Ainsi, pour tout
\(n \in \mathbb{N}\)
,
\(\begin{align*}z^n-\frac{1}{z^n}= (\text e^{ix})^n-\frac{1}{(\text e^{ix})^n}= \text e^{inx}-\text e^{-inx}= 2i\sin(nx)\end{align*}\)
d'après les formules d'Euler.
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